Fibonacci, Parte 2: A Proporção Áurea

Na primeira parte da série falei sobre a Sequência de Fibonacci e o problema da população de coelhos. Agora falarei sobre a Proporção Áurea, que está diretamente relacionada aos números descritos anteriormente.

A Proporção Áurea

Como observado por Johannes Kepler (mais um do legislativo), a divisão entre um elemento da sequência de Fibonacci e seu antecessor tende a se aproximar da Proporção Áurea (\varphi). Assim como 8 está para 5, 13 está para 8, 21 está para 13 e F(n+1) está para F(n). Por exemplo: utilizando o 42° elemento, a divisão seria: \frac{F(41)}{F(40)}. Porém, a Proporção Áurea pode ser calculada algebricamente, como explicarei abaixo.

Como é calculada?

Algebricamente, calculamos a Proporção Áurea tomando como base duas medidas: a e b. Utilizando dois segmentos de retas, podemos obter a seguinte imagem:

a+b está para a assim como a está para b

As razões \frac{a+b}{a} e \frac{a}{b} são iguais e constantes, e chamamos esse valor de Proporção Áurea (símbolo: \varphi). A equação obtida é:

(1)   \begin{equation*}  \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi \end{equation*}

Para encontramos o valor de \varphi, devemos simplificar a primeira parte da equação: \frac{a+b}{a}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}}. Além disso, a partir da equação 1, temos: \frac{b}{a}=\frac{1}{\varphi} (o inverso). Substituindo os novos valores em 1, obtemos:

(2)   \begin{equation*}  1+\frac{1}{\varphi} = \varphi \end{equation*}

Podemos simplificá-la ainda mais: igualando os denominadores (multiplicando todos os itens por \varphi), obtendo \varphi+1=\varphi^2. Podemos organizá-la passando \varphi^2 para o lado esquerdo (ou “adicionando -\varphi^2 aos dois lados da equação”) e multiplicando toda a equação por -1, obtendo uma equação quadrática (de Segundo Grau):

(3)   \begin{equation*}  \varphi^2-\varphi-1=0 \end{equation*}

Para obtermos o valor de \varphi basta apenas usar a queridíssima Fórmula de Bhaskara, utilizando os valores a=1, b=-1 e c=-1:

    \[\varphi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \]

    \[\varphi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}\ \]

    \[\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}\ \]

    \[\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\ \]

Como só nos interessa o valor positivo – você não vai querer ter uma medida negativa, vai? –, o resultado é:

(4)   \begin{equation*}  \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\, \approx 1.618033988749895 \end{equation*}

O valor colocado acima é exatamente o arredondamento utilizando o tipo float em programação: 1.618033988749895. Agora você está pronto para utilizá-la! Se você quer uma medida maior, basta multiplicar por \approx 1.618, se quiser uma menor, por \approx 0.618, como mostrado na imagem a seguir:

Utilizando a Proporção Áurea em medidas

Utilizando X = 10, a medida menor seria 6,18 e a maior seria 16,18. (Adaptado de Wikimedia Commons)

Onde podemos vê-la?

Os números de Fibonacci na Natureza — você também pode ver com pão em HD

Como visto no vídeo acima, a proporção áurea pode ser encontrada em diversos locais na natureza, como em plantas, caracóis (espirais), abacaxis e corpo humano. A seguir, apresento uma galeria de imagens nas quais podemos ver a proporção áurea e os números de Fibonacci em ação. Divirta-se! :)

A Proporção Áurea no Web Design

Como mostrado na galeria acima, o Twitter fez uso da Proporção Áurea para o design de sua página. Como em qualquer outra arte visual, no Web Design também é possível fazer uso dela, utilizando o mesmo princípio de divisão em média e extrema razão. Caso esteja interessado, dê uma olhada nesses dois artigos:


Na terceira parte desta série darei detalhes de como gerar você mesmo a sequência de Fibonacci e a proporção áurea com Javascript, dando detalhes sobre alguns tipos de algaritmos. Além disso, encontrei algo interessante (ou não) sobre o número 42.

Então, não entre em pânico e aguarde a próxima parte! Você pode acompanhar pelo Twitter, Facebook ou pelo RSS.

Atualização: Não sei se a terceira parte irá sair, talvez um dia. Se eu conseguir um tempo extra e paciência, eu posto. ;)

Atualização 2 (20/06/2014): Mais de dois anos depois e ainda não sei se terá terceira parte. Pelo jeito não. A esperança é a última que morre!

Sobre Wesley Cota

Estudante de Física na Universidade Federal de Viçosa. Tem uma profunda paixão por qualquer tecnologia, ama física e gosta de ler sobre diversos assuntos. Atualmente é bolsista da CAPES com projeto de estudo em Redes Complexas.
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Uma resposta a Fibonacci, Parte 2: A Proporção Áurea

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